Юрій Тарнавський народився 3 лютого 1934 року в м. Турці Самбірського повіту (Бойківщина) в родині вчителів. До школи пішов у селі Лубні біля Сянока. Десятирічним хлопцем виїхав без батьків до Німеччини, де перебував у таборах для переміщених осіб понад 7 років. Після війни проживав у таборі для переміщених осіб у Новому Ульмі, де й відвідував українську і німецьку гімназії. Закінчив середню освіту екстерном у Мюнхені, перед виїздом до США в 1952-ому році.

У лютому 1952 року родина прибула до США й оселилася в Ньюарку, штат Нью-Джерсі. Юнак працював спочатку на фабриці по виробленню шкіри, згодом на фабриці консервних бляшанок, ще пізніше - у креслярській фірмі. Водночас навчався в Ньюаркському Коледжі Інженерії (тепер Нью-Джерський Інститут Технології), студіюючи електронну інженерію. Закінчив коледж в 1956 році з відзнакою, зі ступенем BSEE, після чого поступив на працю до компанії IBM, яка спеціалізується на розробці та виготовленні комп'ютерів.

До кола його інтересів у різні роки входила розробка лоґічних схем комп'ютерів, проблеми автоматизованого перекладу з російської мови на англійську, різні аспекти кібернетичного мовознавства. З 1962 року очолював відділ прикладної лінгвістики. Після 1965 року працював над проблемами комп'ютерного навчання, архітектури комп'ютерних систем, баз даних. З 1975 року студіював теоретичне мовознавство, спеціалізуючись у трансформаційно-генеративній граматиці. У 1977 році здобув ступінь магістра. Докторську дисертацію під назвою "Семантика, базована на знанні" захистив 1981 року. Після одержання докторату (1982) зосередився на проблемах штучного інтелекту.

Він також є автором численних публікацій на кібернетичні й лінґвістичні теми. В 1987-ому році, в рамках відзначення століття Нью-Йоркського Університету, Ю.Тарнавський будучи почесним гостем (keynote speaker) прочитав лекцію під назвою «Штучний інтелект і лінґвістика» у лінґвістичному відділі цього Університету. Відійшовши від IBM, був членом Гарріманського Інституту при Колумбійськім Університеті, професором української літератури і культури у відділі слов’янських мов, як також і спів-координатором української програми (1993—1996) у цьому ж Університеті.

Юрій Тарнавський — один із засновників Нью-Йоркської Групи і співзасновник та співредактор журналу «Нові Поезії» (1959-1972). Викладаючи в Колумбійському університеті, він приклався до заснування архіву Нью-Йоркської Групи в Бібліотеці рідкісних книжок та рукописів університету, де тепер зберігається його архів.

Перша збірка Ю. Тарнавського «Життя в місті» (1956), з її урбаністичними мотивами та зосередженням на темі смерті, була зустрінута критиками як новаторська — така, що поривала з традицією мови та тематики української поезії, вказуючи напрямок, в якім пішло багато його сучасників. Програмово екзистенціалістичний роман «Шляхи» (1961), в якім описано життя німецької молоді після Другої світової війни, рівно ж був визнаний як нове слово в українській прозі.

Коріння ранньої творчости Тарнавський майже повністю в західній літературі, особливо в іспаномовній поезії, творчості французьких передсимволістів, сюрреалізмі та філософії екзистенціалізму. З часом, його технічна та лінґвістична освіта та праця дедалі більше впливають на його творчість, внаслідку чого в його творах помітне радикально нове трактування мови, напр., у збірках «Без Еспанії» та «Анкети» і в романах «Менінґіт» і «Три бльондинки і смерть».

В 1960-х роках Тарнавський у своїй творчості переходить повністю на англійську мову, спочатку в прозі, а потім і в поезії, хоча в останній він згодом робить українські варіанти англомовних творів (збірка «Ось, як я видужую» (1978) і наступні п’ять збірок). Він стає членом групи аванґардних американських письменників Fiction Collective (пізніше FC2) і в її видавництві публікує згадані романи «Менінґім» та «Три бльондинки і смерть», які були високо оцінені американською критикою.

У 1970-1980-х роках написав і опублікував низку поетичних творів англійською мовою, створюючи водночас і паралельні українські варіанти: поема "Оперене серце", цикли "Ідеальна жінка", "Фотографії - це квіти", "Врослі вірші", "Нулі й одиниці", "Ось як я видужую". Українською мовою написано цикл поезій "Дорослі вірші" (1987), присвячений трагедії Чорнобиля, а також поему "У ра на", яка є його продовженням. Відомі його переклади - на англійську (українські думи, твори М.Коцюбинського, В.Стефаника, М.Хвильового) та на українську (твори Ф. Гарсія Лорки, П.Неруди, С.Ново, Г.Тракля, Е.Паунда, С.Беккета). У 1959-1972 роках Юрій Тарнавський разом з Богданом Бойчуком редагував щорічник "Нові поезії", в якому друкувалися поетичні твори учасників Нью-Йоркської групи.

У 1991 році вперше вийшла збірка його творів в Україні ("Без нічого", Київ, вид-во "Дніпро").

Останніми роками, Тарнавський все більше й більше писвячує себе англомовній творчості, що так само сприймається з чималим ентузіазмом американською критикою. Так, 2007 виходить збірка його мініроманів (жанр розроблений ним самим) «Як кров у воді», 2011 доповнена і переформатована збірка «Короткі хвости», а 2013 трилогія «Ефект плацебо», що складається з трьох збірок споріднених мініроманів — «Як кров у воді» (новий варіант), «Майбутнє жираф» та «Вид на Дельфт». Того ж 2013 виходить його збірка поезій «Modus Tollens», з підзаголовком «імпровізовані поетичні пристрої», що вимагають особистого вкладу читача для їх повного сприйняття, які Тарнавський називає гевристичною поезією. 

2014 з’являється збірка коротких прозових творів «Крокодилячі усмішки», яка розвиває далі абсурдизм «Коротких хвостів». (Оповідання «Mертва кохана» з неї було опубліковане в антолoгії "Найкраще з европейської прози 2014" видавництва Dalkey Archive Press.) 2016 виходить збірка його есеїв та розмов «Право на забуття», яка присвячена здебільшого розгляданню власної твочості та питанням, порушуваним у ній.

Твори Тарнавського перекладено багатьма мовами: англійською, італійською, німецькою, польською, португальською, російською, румунською, французькою, чеською.

За заслуги в царині літератури 2008 року Юрій Тарнавський був нагороджений Орденом Ярослава Мудрого ІІІ Ступеня.